🌸 Bioestadística Aplicada
Clase 1 de 2 · Unidad 4

Distribuciones
Continua y Normal

Variables aleatorias continuas, funciones de densidad
y la distribución normal estándar

📐 Tema 4.4 — Dist. Continua 🔔 Tema 4.5 — Dist. Normal

Nivel Principiante  |  Bioestadística Aplicada

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Slide 02 · Introducción
¿Discreta o Continua? El contexto importa
El Problema
Para una variable aleatoria discreta tiene sentido preguntar la probabilidad de un valor exacto. Para una variable continua, esto no funciona. Por ejemplo: ¿cuál es la probabilidad de que alguien espere exactamente 7.211916 minutos el autobús?
La Solución
Con variables continuas siempre preguntamos por intervalos: ¿cuánto vale P(5 < X < 10)? La probabilidad se calcula como un área bajo una curva llamada función de densidad.
Comparación Discreta vs. Continua
AspectoDiscretaContinua
ValoresContables (1, 2, 3…)Intervalo de reales
P(X = a)Puede ser > 0Siempre = 0
ProbabilidadSuma de puntosÁrea bajo curva
HerramientaTabla de distribuciónFunción de densidad f(x)
EjemplosN° de hijos, lanzar dadoEstatura, tiempo, temperatura
Propiedad clave
Para cualquier variable aleatoria continua X: P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) — incluir o excluir los extremos no cambia el resultado porque el área de un punto es cero.
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Slide 03 · Objetivos
¿Qué aprenderás en esta clase?
1
Comprender qué es una variable aleatoria continua y por qué las probabilidades se calculan como áreas bajo una función de densidad.
2
Calcular probabilidades en la distribución uniforme continua usando el área de rectángulos como introducción intuitiva al concepto de densidad.
3
Identificar las características de la distribución normal: forma de campana, parámetros μ y σ, simetría y regla empírica (68-95-99.7).
4
Usar la distribución normal estándar Z para transformar variables y calcular probabilidades usando la tabla acumulada.
Temas de esta sesión
4.4 Distribución Continua · 4.5 Distribución Normal
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Slide 04 · Tema 4.4
Distribución Continua: Función de Densidad
Definición
Función de Densidad f(x)
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X asigna probabilidades a intervalos usando f(x). La probabilidad de que X tome un valor en [a, b] es el área de la región bajo la curva y = f(x) entre a y b.
Condiciones obligatorias de f(x)
  • f(x) ≥ 0 para todo x (nunca es negativa)
  • El área total bajo la curva es exactamente 1
  • P(X = a) = 0 para cualquier valor puntual a
Analogía intuitiva
Imagina un histograma con barras cada vez más delgadas: al hacerlas infinitamente finas, el contorno forma la curva de densidad y el área total sigue siendo 1 (100% de los datos).
Ejemplo: Distribución Uniforme
Caso del autobús
Buses cada 30 min → X uniforme en [0, 30] con f(x) = 1/30. ¿Probabilidad de esperar máx. 10 min?
P(0 ≤ X ≤ 10) = base × altura
= 10 × 1/30 = 1/3 ≈ 0.333 área del rectángulo bajo f(x) = 1/30
Más ejemplos uniformes
EventoCálculoProbabilidad
X > 0.75 en [0,1](1−0.75)×10.25
X ≤ 0.2 en [0,1](0.2−0)×10.20
0.4 < X < 0.7 en [0,1](0.7−0.4)×10.30
X ≤ 10 en [0,30]10×(1/30)0.333
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Slide 05 · Tema 4.5
Distribución Normal: La Campana de Gauss
¿Qué es la Distribución Normal?
La distribución más utilizada en estadística. Describe fenómenos naturales donde los datos se acumulan alrededor de un valor central y disminuyen simétricamente hacia los extremos.
Parámetros
  • μ (mu) — Media: determina el centro (ubicación) de la curva
  • σ (sigma) — Desviación estándar: determina el ancho (dispersión)
  • Se denota: X ~ N(μ, σ²)
f(x) = 1 / (σ√2π) · e−½((x−μ)/σ)² función de densidad normal · −∞ < x < ∞
Propiedades esenciales
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Forma de campana simétrica
Siempre simétrica alrededor de μ. La media, mediana y moda coinciden exactamente en el punto central.
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Efecto de μ y σ
Cambiar μ desplaza la curva sin deformarla. Cambiar σ la hace más angosta (σ pequeño) o más ancha (σ grande), siempre con área total = 1.
∞
Asíntota horizontal
La curva nunca toca el eje X: se aproxima sin cruzarlo (comportamiento asintótico) hacia ±∞.
Ejemplos en la naturaleza
📏 Estatura de personas 🧠 Coeficiente intelectual ⚖️ Peso al nacer 🌡️ Temperatura corporal 📦 Contenido de envases
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Slide 06 · Tema 4.5
Regla Empírica 68 — 95 — 99.7
La Regla de las Desviaciones
En toda distribución normal, sin importar μ o σ, las proporciones de datos dentro de k desviaciones estándar de la media son siempre las mismas. Esto se conoce como la Regla Empírica.
μ ± 1σ
68.26%
μ ± 2σ
95.44%
μ ± 3σ
99.74%
Ejemplo Aplicado
Estatura de hombres de 25 años
μ = 69.75 pulgadas · σ = 2.59 pulgadas
Distribución: X ~ N(69.75, 2.59²)
IntervaloRango en pulgadas% de hombres
μ ± 1σ67.16 – 72.34≈ 68%
μ ± 2σ64.57 – 74.93≈ 95%
μ ± 3σ61.98 – 77.52≈ 99.7%
Reflexión
P(X > 69.75) = 0.5 por simetría. La mitad de los hombres mide más que la media, la otra mitad menos.
Z
Slide 07 · Tema 4.5
La Normal Estándar Z y Estandarización
¿Qué es Z?
Variable Normal Estándar
Z es una variable aleatoria normal con μ = 0 y σ = 1. Se denota Z ~ N(0, 1). La tabla acumulada nos da directamente P(Z < z) para cualquier valor z.
Z = (x − μ) / σ transformación a la escala estándar
Interpretación de Z
Z indica cuántas desviaciones estándar está una observación alejada de la media. Z = 2 significa "2 sigmas por encima de la media".
Propiedad de linealidad
Si X ~ N(μ, σ²) y Y = aX + b, entonces Y ~ N(aμ + b, a²σ²). Las funciones lineales de normales también son normales.
Cómo usar la Tabla Z
01
P(Z < z): lectura directa
Busca la fila con la parte entera y décima de z, la columna con la centésima. El valor de la tabla es la probabilidad acumulada desde −∞.
02
P(Z > z): complemento
P(Z > z) = 1 − P(Z < z). Ejemplo: P(Z > 1.60) = 1 − 0.9452 = 0.0548
03
P(a < Z < b): diferencia
P(a < Z < b) = P(Z < b) − P(Z < a). Ejemplo: P(0.5 < Z < 1.57) = 0.9418 − 0.6915 = 0.2503
04
Valores extremos fuera de tabla
Si z > 3.99, P(Z < z) ≈ 1.0000. Si z < −3.99, P(Z < z) ≈ 0.0000.
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Slide 08 · Ejemplos
Ejemplos Resueltos con la Tabla Z
Tipo 1: Cola izquierda P(Z < z)
Ejemplo A
P(Z < 1.48) → fila 1.4, columna 0.08 → 0.9306
Ejemplo B
P(Z < −0.25) → fila −0.2, columna 0.05 → 0.4013
Tipo 2: Cola derecha P(Z > z)
Ejemplo C
P(Z > 1.60) = 1 − P(Z < 1.60) = 1 − 0.9452 = 0.0548
Ejemplo D
P(Z > −1.02) = 1 − P(Z < −1.02) = 1 − 0.1539 = 0.8461
Tipo 3: Intervalo P(a < Z < b)
Ejemplo E
P(0.5 < Z < 1.57) = P(Z < 1.57) − P(Z < 0.50)
= 0.9418 − 0.6915 = 0.2503
Ejemplo F (signos opuestos)
P(−2.55 < Z < 0.09) = P(Z < 0.09) − P(Z < −2.55)
= 0.5359 − 0.0054 = 0.5305
Regla Empírica verificada
IntervaloP(Z)% datos
−1 < Z < 10.8413 − 0.158768.26%
−2 < Z < 20.9772 − 0.022895.44%
−3 < Z < 30.9987 − 0.001399.74%
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Slide 09 · Ejercicio Práctico
¡A practicar! Preguntas de repaso
PREGUNTA 1 Distribución Continua
Una variable X tiene distribución uniforme en el intervalo [0, 20]. ¿Cuál es P(X ≤ 8)?
  • A 0.20
  • B 0.40 ✓ (base 8 × altura 1/20)
  • C 0.80
  • D 8.00
PREGUNTA 2 Distribución Normal
En una distribución normal N(50, 10²), ¿aproximadamente qué porcentaje de datos cae entre 30 y 70?
  • A 68.26%
  • B 95.44% ✓ (μ ± 2σ: 50 ± 20)
  • C 99.74%
  • D 50%
PREGUNTA 3 Tabla Z
Si P(Z < 1.96) = 0.9750, ¿cuánto vale P(Z > 1.96)?
  • A 0.9750
  • B 0.0500
  • C 0.0250 ✓ (1 − 0.9750)
  • D 0.4750
📝
Slide 10 · Actividad Evaluable
Actividad: Cálculo de Probabilidades Normales
⚡ Instrucciones
Con la tabla Z acumulada, resuelve los siguientes problemas y entrega los procedimientos completos mostrando cada paso. Trabajo individual. Tiempo en clase: 20 minutos. Entrega al final de la sesión.
1️⃣
Problema de estatura

La estatura de mujeres adultas en una comunidad sigue N(160 cm, 6²). Calcula: a) P(X > 168), b) P(154 < X < 172), c) el valor de x tal que P(X < x) = 0.90. Muestra la transformación Z para cada inciso.

2️⃣
Problema de producción

Una máquina llena envases con promedio μ = 500 ml y σ = 8 ml. Se rechaza un envase si tiene menos de 484 ml o más de 516 ml. ¿Qué proporción de envases se rechaza?

3️⃣
Interpretación y reflexión

Explica con tus propias palabras: a) ¿por qué P(X = a) = 0 en variables continuas? b) ¿Qué ventaja tiene estandarizar a Z? c) Menciona 2 fenómenos de tu campo de interés que podrían seguir una distribución normal.

Criterios de evaluación
  • Transformación Z correcta y mostrada
  • Uso correcto de la tabla acumulada
  • Respuesta final con unidades e interpretación
  • Reflexión coherente y propia
Formato de entrega
  • Hoja con nombre completo y fecha
  • Procedimiento paso a paso visible
  • Puede ser fotografía o digital (PDF)
  • Plataforma del curso, próxima sesión
📚
Slide 11 · Recursos y Bibliografía
Fuentes y Material de Apoyo
Bibliografía principal
📖
Introductory Statistics — Saylor Foundation
Capítulo 5: Continuous Random Variables. Secciones 5.1 y 5.2. Fundamentos de distribución continua, uniforme y normal estándar.
https://saylordotorg.github.io/text_introductory-statistics/s09-continuous-random-variables.html
🏫
Conceptos Básicos de Estadística — UNAM
Páginas personales UNAM. Distribución normal, estandarización Z y aplicaciones en ciencias biológicas. Desde p. 99.
https://www.paginaspersonales.unam.mx/files/977/Conceptos_basicos_de_estadistica.pdf#page=99
Material complementario recomendado
🎬
Khan Academy — Estadística
Videos en español sobre distribución normal, Z-score y tabla de probabilidades acumuladas.
khanacademy.org/math/statistics-probability
📊
Tabla Z Interactiva
Calculadoras de probabilidad normal en línea para verificar resultados y visualizar áreas bajo la curva.
stattrek.com/online-calculator/normal
✅ Clase 1 — Completada

Resumen de lo aprendido

Var. continua
P(X=a)=0 siempre · probabilidad = área bajo f(x)
f(x) densidad
f(x) ≥ 0 · área total = 1 · define toda distribución continua
Dist. Uniforme
f(x) = 1/(b−a) en [a,b] · P = base × altura
Dist. Normal
X~N(μ,σ²) · campana simétrica · μ centra, σ dispersa
Regla empírica
μ±1σ=68% · μ±2σ=95% · μ±3σ=99.7%
Z estándar
Z=(x−μ)/σ · N(0,1) · tabla acumulada P(Z<z)
📐 Dist. Continua (4.4) 🔔 Dist. Normal (4.5)

Próxima clase: Distribución Ji-Cuadrada (4.6) 🌄